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求解一道不定积分1/x^4(1+x^2)Dx

本题可不用复数来解,不过技巧比较高,非常规题.∫1/(1+x^2+x^4)dx=(1/2)∫(1-x+1+x)/(1+x^2+x^4)dx=(1/2)∫(1-x)/(1+x^2+x^4)dx+(1/2)∫(1+x)/(1+x^2+x^4)dx 分子分母同除以x=(1/2)∫(1/x-1)/(1/x+1+x)dx+(1/2)∫(1/x+1)/(1/x+1+x)

∫1/(x+x+1) dx= (1/2)∫(x+1)/(x+x+1) dx - (1/2)∫(x-1)/(x-x+1) dx= (1/2)[(1/2)∫(2x+1)/(x+x+1) dx + (1/2)∫1/(x+x+1) dx] - (1/2)[(1/2)∫(2x-1)/(x-x+1) dx - (1/2)∫1/(x-x+1) dx]= (1/4)∫d(x+x+1)/(x+x+1) - (1/4)∫d(x-x+1)/(x-x+1) + (1/4)∫d(x+1

∫ (x^2+x^4)^1/2 dx= ∫[x^2(x^2+x^4)]^1/2dx = ∫x[(1+x^2)]^1/2dx 设x=tant,则dx=(sect)^2dt ∫(x^2+x^4)^1/2dx = ∫[x^2(x^2+x^4)]^1/2dx = ∫x[(1+x^2)]^1/2dx = ∫tant{[1+(tant)^2]}^1/2* (sect)^2dt = ∫tantsect* (sect)^2dt = ∫(sect)^2d(secttant) = (1/3)(sect)^3+C 由tant=x得到,sect=(x^2+1)^(1/2) ∫(x^2+x^4)^1/2dx =(1/3)(x^2+1)^(3/2)+C

∫x^4/(1+x)]dx=∫[(x^4-1)+1]/(1+x)]dx=∫(x^4-1)/(1+x)+∫1/(1+x)dx=∫(x+1)(x-1)/(1+x)dx+∫1/(1+x)dx=∫(x-1)dx+∫1/(1+x)dx=∫xdx-∫dx+∫1/(1+x)dx=x/3-x+arctanx+C 只需要做简单的变形即可,满意请采纳,谢谢~

∫(x^4/1+x^2)dx=∫(x^4+x-x-1+1)/(1+x^2)dx=∫(x-1)+1/(x+1)dx=x/3-x+arctanx+c

积分:(x^2+1)/(x^4+1)dx=积分:(1+1/x^2)/(x^2+1/x^2)dx(上下同时除以x^2)=积分:d(x-1/x)/[(x-1/x)^2+(根号2)^2]=1/根号2*arctan[(x-1/x)/根号2]+C=1/根号2*arctan[(x^2-1)/(x根号2)]+C(C为常数)

令x=tanθ,则:√(1+x^2)=√[1+(tanθ)^2]=1/cosθ,sinθ=√{(sinθ)^2/[(sinθ)^2+(cosθ)^2]}=√{(tanθ)^2/[(tanθ)^2+1]} =tanθ/√[(tanθ)^2+1]=x/√(x^2+1),dx=[1/(cosθ)^2]dθ.∴原式=∫{1/[(tanθ)^4(1/cosθ)]}[1/(cosθ)^2]dθ =∫{1/[(tanθ)^4cosθ]}dθ =∫[(cosθ)^3/

x^2/(1+x^4)={x/(1+x^2-√2x)-x/(1+x^2+√2x)}/2√2

这是个技巧比较高的积分,不是楼上答得那么简单的 ∫ x/(1+x) dx=(1/2)∫ (x-1+x+1)/(1+x) dx=(1/2)∫ (x-1)/(1+x) dx + (1/2)∫ (x+1)/(1+x) dx 分子分母同除以x=(1/2)∫ (1-1/x)/(x+1/x) dx + (1/2)∫ (1+1/x)/(x+1/x) dx 分子

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